總諧波失真：理論和應用

*請注意，總諧波失真只有在版本7或更高版本中可用

本篇應用報告討論總諧波失真（THD）以及其與電化學阻抗譜（EIS）共同的特性。兩者實驗基礎相同，但是數據分析方面不同。

另外，我們回顧了線性和非線性信號響應的差異。與EIS相比，THD通過快速傅里葉變化（FFT），也能夠分析非線性信號。我們將介紹非線性如何影響測試以及THD如何被應用于檢查非線性行為。

事實上，大多數測試體系如燃料電池等都是非線性體系，使得THD成為一種非常有用的工具。THD有助于暴露對系統和測試數據不利的副反應產生的非線性行為。

原理

EIS和THD的相似之處

總諧波失真是電化學阻抗的擴展版本。這兩種方法都是向測試體系施加正弦交流信號（控制電位或電流）。激發信號Et可以頻率或時間t表示：

E0是正弦信號的幅值，ω是角頻率，也可用頻率f來表達，如式2：

測得的信號It也是同頻率的正弦信號，但是幅值I0可能不同，相角也有可能位移（見圖1）。

圖1 正弦激發信號（綠）和相應的響應信號（藍）

然而，注意式3只有在響應信號是線性的才有效。

后，可使用類似歐姆定律的方法，針對每一個頻率計算電化學測試系統的阻抗Z：

線性VS非線性

如上文所提到的，式3和式4只有在響應信號是線性時才正確。任何由線性性的偏差都容易導致誤差甚至錯誤的測試結果。

在實際應用中，電化學系統的行為都是非線性的。然而，如果施加振幅足夠小的AC信號，系統可近似看作是線性的。這種叫做近似線性系統。即使整個體系是非線性的，也可以使用此方法來計算阻抗（如圖2所示）。

圖2 在極化曲線圖中EIS和THD測試中觀察的近似線性區，同時還顯示李沙育圖的來源

如果交流振幅設置不正確，則無法確保線性性。多數人都知道在進行EIS測試時使用5-10mV的AC振幅。但是，不能因軟件默認設置而在任何測試體系都使用這些參數。

例如，在高功率能源體系中hao用幾A的控制電流模式的AC擾動，而使用10mV或更小的控制電位模式來研究腐蝕體系。如果設置不正確，則測試會引入噪聲（AC擾動擾動太小）或非線性性結果（振幅太大）。因此，當式3和式4無效時，阻抗計算結果不準確不正確甚至無效。

然而，EIS沒有定量的方法來檢查測得的信號是否線性。對李沙育圖（圖2）定性檢測-顯示測量信號和施加信號-通常是評估系統狀態的方法。Gamry軟件會在EIS和THD測試期間針對每個頻率顯示李沙育圖，但是不提供具體參數供以后使用。

相反，THD可以分析非線性測試體系，并且提供后續評估的參數。

THD提供有關非線性的信息

正如上文所述，THD是可用于分析非線性系統的有用技術。

可使用快速傅里葉變換（FFT）進行此操作。被測信號從時域轉換成頻域（見圖1）。轉換后的數據叫做FFT頻譜，其中繪制了響應信號的幅度與頻率關系。

圖3展示了理想正弦波信號的FFT頻譜。如圖所示，僅出現在施加信號的基本頻率f處的一個峰。

圖3 理想正弦波信號的FFT頻譜。右上顯示的是時域圖

圖4展示了失真的非線性的正弦信號的FFT頻譜。可以在信號的基頻f1處觀察到大的一個峰。此外，在基頻的整數倍處（f2=2*f1.f3=3*f1,f4=4*f1等）出現其他峰。這些峰稱為諧波，代表信號的非線性性。諧波幅度越大，信號非線性性越強。

圖4 非理想失真正弦信號的FFT頻譜。右上是原始的時域圖

獲得的FFT數據可被用于計算所謂的THD因子。如果測得的信號是電位，我們將其稱為THDE，或將其稱為電流響應的THDI。THD因子描述了諧波（Yn）振幅的均方根（RMS）與基頻（Y1）振幅的均方根之間的比率。THD因子的一般公式如下：

通常，計算多執行10次（n=10）。如方程式所示，相對于基頻振幅，諧波越大，THD因子越大，即響應頻率的非線性越強。例如，THD因子為40%，意味著諧波振幅的均方根是基頻振幅均方根的40%。如圖3所示，一個完美的線性信號，THD因子為0。

類似于阻抗Z，每一個頻率下計算THD因子。將其繪制成圖7所示的相對于施加信號頻率的圖譜。

注意，THD計算不僅限于正弦信號，也可應用于如方波或三角波的連續信號。還請記住，對于THD因子及其計算方法有不同定義。有些用基頻和諧波來描述式5的解調器。其他定義也在計算中添加了噪聲。

實驗

本章展示了對測試體系施加不同AC振幅的線性和非線性結果。為此，使用額定容量40mAh的CR2032鋰離子電池。在每次測試之前，電池充電至3.6V并將其恒定在此電位下4h。之后，在頻率10kHz至1mHz范圍內，進行控制電流模式的THD測試。AC振幅變化時，DC電流都設置成0A。施加的交流電流信號幅值為4mA（0.1C）和10mA（0.25C），已獲得線性響應。使用20mA（0.5C）和40mA（1C）的較大振幅來產生非線性響應。

圖5顯示了THD實驗相應的Bode圖。橙色是線性阻抗數據，藍色是非線性數據。

圖5 紐扣電池在不同AC幅值時的Bode圖。() 4 mA, () 10 mA, () 20 mA, () 40 mA.

橙色表示線性，藍色表示非線性

整個頻率范圍內，低擾動幅值數據重疊的很好。即使加上振幅為20mA，在低頻至40mHz時也重疊的不錯。然而，在更低頻率上，施加AC擾動幅值越大，阻抗增加的程度越大，差異會越來越明顯。在非常大的振幅下，甚至高頻區域也收到影響，測得的阻抗始終比較大。

同時也注意，必須提前終止振幅為40mA（1C）的實驗。原因是大電流在低頻下會使電池放電，以至于達到臨界值。繼續進行實驗可能會不可逆的損壞電池。

圖6顯示了相應的Nyquist圖。為簡單起見，僅展示了4mA（橙色）和40mA（藍色）AC振幅的曲線。

圖6 紐扣電池在不同AC振幅下的Nyquist圖。() 4 mA, () 40 mA。

橙色代表線性，藍色代表非線性

與Bode圖相應，Nyquist圖在低頻區也有很大差異。非線性數據的半圓弧更大，低頻區擴散部分也延伸的很遠。

除了Bode圖和Nyquist圖，THD測試也提供了跟測試信號線性性相關的信息。圖7展示了針對每個頻率自動計算的相應THD因子。

類似圖5所示的Bode圖，高頻區所有振幅的數據都是相似的。相反，低頻區有很大差異。20mA振幅時，THDE增加，40mA振幅時THDE增加更多，這表明測得的響應信號在低頻區非線性性變很強。

圖7 紐扣電池在不同AC擾動幅值時的THDE曲線。() 4 mA, () 10 mA, () 20 mA, () 40 mA。橙色表示線性，藍色表示非線性

只能通過施加較低的擾動幅值信號來實現更寬頻率范圍內的線性響應信號。如圖7所示，擾動幅值較小的曲線的確在較寬頻率范圍內顯示出較小的THDE值，從而獲得更準確和可再現的阻抗結果。

被用來判斷測試信號是否線性的THD系數沒有設定值。THD因子hao被用作為系統行為的指標。

高質量的阻抗數據只能通過施加足夠小的AC擾動振幅來獲得線性響應信號，但又要足夠大，在整個頻率范圍內提高信噪比。

我們的實驗表明，通過施加不同AC擾動振幅信號，測量結果會有變化。特別是對測試體系擾動幅值特別大時，會產生非線性響應，在Bode圖和Nyquist圖上有很大差異。與正確的曲線相比，兩者都有偏移。擾動幅值越大，在低頻區的偏差越大。

因此，總諧波失真是一種有用的測試方法，可提供有關測試信號的定量信息。THD因子這種額外信息可以幫助評估測試信號的非線性性，這種非線性性終導致不精確，不準確甚至無效的結果。或者信號是線性的，測出的阻抗數據也是有效的。

Total Harmonic Distortion: Theory and Practice.  Rev. 1.0 12/20/2018© Copyright 2018 Gamry Instruments, Inc.